Otra ecuación más.

Fue resuelta hace algunas semanas atrás la ecuación

x^3+y^3+z^3=33

en los enteros. La solución que encontró Andrew Booker, de Bristol, Inglaterra, es: x= 8 866 128 975 287 528, y=(−8 778 405 442 862 239), z=(−2 736 111 468 807 040). No estaba para nada fácil! En cambio sí es fácil ver que los cubos módulo 9 son solamente 1, 0 y -1. Por lo tanto si n es congruente con 4 ó 5 módulo 9 no hay solución para

x^3+y^3+z^3=n,

y la conjetura (de Heath-Brown) es que en caso contrario hay infinitas soluciones en los enteros para esta ecuación. Pero para n=33 no se conocía ninguna! Para n<33 sí se conocen soluciones cuando existen, las cuales en la mayor parte de los casos se pueden encontrar a mano. Pero por ejemplo para n=30 fue necesario un cierto aparataje matemático, obra de Elkies, para encontrar una solución, también con números grandes.

El siguiente n (que no es congruente con 4 ni 5 módulo 9) para el cual no se conocen soluciones es n=42...