Un cierto sistema de reescritura.

Consideremos un sistema de reescritura que use el alfabeto formado por las tres letras siguientes: la letra a, la b y las comillas. Ocuparemos solamente los strings que tengan una cantidad par de comillas. Es decir, tendremos la siguiente regla (implícita, por así decirlo):

Regla 1: Cuando un string tiene una cantidad impar de comillas, se agrega una comilla al final del string.

Tenemos, además, una segunda regla "implícita":

Regla 2: Las letras a al comienzo del string se borran.

Dada la regla 1, tiene sentido hablar de las letras que están "al interior" de las comillas y de las que están "al exterior". El sistema de reescritura funciona iterando eternamente la siguiente regla (principal, por así decirlo):

Regla 3: Al interior de las comillas, las letras a se transforman en comillas, y las b quedan tal cual. Al exterior de las comillas, las b se transforman en comillas y las a quedan tal cual. Finalmente, los pares de comillas propiamente tales se transforman de acuerdo al siguiente sistema: la primera comilla se transforma en a y la segunda en b.

Ejemplo (cualquiera): ab"bb, b"bb", "abbb, "abbb", a"bbbb, "bbbb", abbbbb, bbbbb, """"", """""", ababab, etc.

Conjetura: Este armatoste converge (siempre).

Pregunta 2.

Otra ecuación, también en los enteros:

x^3+y^3+3z^3=3

Acá, de nuevo, se pueden encontrar algunas soluciones sencillas, tales como x=n, y=-n, z=1, para cualquier entero n. Buscando números chicos uno encuentra también x=0, y=3, z=-2. Qué más hay?

Vi hoy un posteo en arXiv, con una ecuación parecida, pero no lo he revisado detenidamente. El link es éste.

Pregunta 1.

Resolver en los enteros el siguiente sistema de ecuaciones:

x^2-2y^2+z^2=2
y^2-2z^2+w^2=2
z^2-2w^2+v^2=2

Nótese que cinco enteros consecutivos siempre son una solución (por ejemplo x=8,y=9,z=10,w=11,v=12). También son soluciones, por supuesto, los enteros consecutivos con cambios de signo. Hay alguna otra solución?

Saludos.

Este blog en realidad viene siendo el compañero de mi página web, como para postear aquí algunos comentarios, links, documentos, tanto de interés general como de carácter técnico, informático-matemático.