Estoy ahora aceptando encargos de desarrollo de software. Los interesados(as) me pueden escribir a mi correo electrónico, pablosaezphd@gmail.com.
Blog de Pablo Sáez, de temas varios, principalmente matemática+informática.
sábado, 9 de septiembre de 2023
domingo, 19 de septiembre de 2021
Otra pregunta...
Consideremos en el plano cartesiano los puntos O(0,0), A(0,-1), y B(-1,0). Puede un punto P de coordenadas racionales (digamos, en el primer cuadrante) estar a distancia racional de estos tres puntos (simultáneamente)?
jueves, 12 de septiembre de 2019
n=42.
El mismo Booker resolvió hace poco la ecuación que mencionaba hace dos posts atrás,
x^3+y^3+z^3=42,
con lo cual quedan cubiertos todos los casos de sumas de tres cubos entre 0 y 100. La solución que pilló es x=-80 538 738 812 075 974, y=80 435 758 145 817 515, z=12 602 123 297 335 631. Qué le parece?
x^3+y^3+z^3=42,
con lo cual quedan cubiertos todos los casos de sumas de tres cubos entre 0 y 100. La solución que pilló es x=-80 538 738 812 075 974, y=80 435 758 145 817 515, z=12 602 123 297 335 631. Qué le parece?
sábado, 31 de agosto de 2019
jueves, 28 de marzo de 2019
Otra ecuación más.
Fue resuelta hace algunas semanas atrás la ecuación
x^3+y^3+z^3=33
en los enteros. La solución que encontró Andrew Booker, de Bristol, Inglaterra, es: x= 8 866 128 975 287 528, y=(−8 778 405 442 862 239), z=(−2 736 111 468 807 040). No estaba para nada fácil! En cambio sí es fácil ver que los cubos módulo 9 son solamente 1, 0 y -1. Por lo tanto si n es congruente con 4 ó 5 módulo 9 no hay solución para
x^3+y^3+z^3=n,
y la conjetura (de Heath-Brown) es que en caso contrario hay infinitas soluciones en los enteros para esta ecuación. Pero para n=33 no se conocía ninguna! Para n<33 sí se conocen soluciones cuando existen, las cuales en la mayor parte de los casos se pueden encontrar a mano. Pero por ejemplo para n=30 fue necesario un cierto aparataje matemático, obra de Elkies, para encontrar una solución, también con números grandes.
El siguiente n (que no es congruente con 4 ni 5 módulo 9) para el cual no se conocen soluciones es n=42...
x^3+y^3+z^3=33
en los enteros. La solución que encontró Andrew Booker, de Bristol, Inglaterra, es: x= 8 866 128 975 287 528, y=(−8 778 405 442 862 239), z=(−2 736 111 468 807 040). No estaba para nada fácil! En cambio sí es fácil ver que los cubos módulo 9 son solamente 1, 0 y -1. Por lo tanto si n es congruente con 4 ó 5 módulo 9 no hay solución para
x^3+y^3+z^3=n,
y la conjetura (de Heath-Brown) es que en caso contrario hay infinitas soluciones en los enteros para esta ecuación. Pero para n=33 no se conocía ninguna! Para n<33 sí se conocen soluciones cuando existen, las cuales en la mayor parte de los casos se pueden encontrar a mano. Pero por ejemplo para n=30 fue necesario un cierto aparataje matemático, obra de Elkies, para encontrar una solución, también con números grandes.
El siguiente n (que no es congruente con 4 ni 5 módulo 9) para el cual no se conocen soluciones es n=42...
domingo, 29 de mayo de 2016
Otra pregunta más (la cuarta).
Cuántos números hay que eliminar como mínimo del conjunto {1,2,...,n} para que no quede ninguna progresión aritmética no trivial de largo 3? (Las progresiones aritméticas triviales son las secuencias constantes). Se conocen algunas estrategias de eliminación tales como la secuencia de Szekeres (dejar solamente los enteros que se escriben en base 3 sin el dígito 2) que son óptimas para algunos valores chicos de n pero no en general. Los conjuntos más grandes que se conocen (para valores arbitrariamente grandes de n) sin progresiones aritméticas no triviales de largo 3 son los de Behrend. Es un resultado del año 1946! Para valores chicos de n, hasta n=123, los conjuntos más grandes los calculó Dybizbanski en 2012. Por ejemplo para n=123 el conjunto más grande tiene 32 elementos y es, de hecho, el mismo de Szekeres.
miércoles, 26 de agosto de 2015
Clases particulares de matemática.
Estoy haciendo clases particulares de matemática a niveles de PSU y mechones, principalmente en San Pedro de la Paz. Pueden ser otros contenidos de matemática o informática u otros lugares dependiendo de las necesidades. Los interesados(as) pueden escribirme a mi correo electrónico, pablosaezphd [arroba] gmail [punto] com.
miércoles, 7 de diciembre de 2011
Un cierto sistema de reescritura.
Consideremos un sistema de reescritura que use el alfabeto formado por las tres letras siguientes: la letra a, la b y las comillas. Ocuparemos solamente los strings que tengan una cantidad par de comillas. Es decir, tendremos la siguiente regla (implícita, por así decirlo):
Regla 1: Cuando un string tiene una cantidad impar de comillas, se agrega una comilla al final del string.
Tenemos, además, una segunda regla "implícita":
Regla 2: Las letras a al comienzo del string se borran.
Dada la regla 1, tiene sentido hablar de las letras que están "al interior" de las comillas y de las que están "al exterior". El sistema de reescritura funciona iterando eternamente la siguiente regla (principal, por así decirlo):
Regla 3: Al interior de las comillas, las letras a se transforman en comillas, y las b quedan tal cual. Al exterior de las comillas, las b se transforman en comillas y las a quedan tal cual. Finalmente, los pares de comillas propiamente tales se transforman de acuerdo al siguiente sistema: la primera comilla se transforma en a y la segunda en b.
Ejemplo (cualquiera): ab"bb, b"bb", "abbb, "abbb", a"bbbb, "bbbb", abbbbb, bbbbb, """"", """""", ababab, etc.
Conjetura: Este armatoste converge (siempre).
Regla 1: Cuando un string tiene una cantidad impar de comillas, se agrega una comilla al final del string.
Tenemos, además, una segunda regla "implícita":
Regla 2: Las letras a al comienzo del string se borran.
Dada la regla 1, tiene sentido hablar de las letras que están "al interior" de las comillas y de las que están "al exterior". El sistema de reescritura funciona iterando eternamente la siguiente regla (principal, por así decirlo):
Regla 3: Al interior de las comillas, las letras a se transforman en comillas, y las b quedan tal cual. Al exterior de las comillas, las b se transforman en comillas y las a quedan tal cual. Finalmente, los pares de comillas propiamente tales se transforman de acuerdo al siguiente sistema: la primera comilla se transforma en a y la segunda en b.
Ejemplo (cualquiera): ab"bb, b"bb", "abbb, "abbb", a"bbbb, "bbbb", abbbbb, bbbbb, """"", """""", ababab, etc.
Conjetura: Este armatoste converge (siempre).
martes, 13 de septiembre de 2011
Pregunta 2.
Otra ecuación, también en los enteros:
x^3+y^3+3z^3=3
Acá, de nuevo, se pueden encontrar algunas soluciones sencillas, tales como x=n, y=-n, z=1, para cualquier entero n. Buscando números chicos uno encuentra también x=0, y=3, z=-2. Qué más hay?
Vi hoy un posteo en arXiv, con una ecuación parecida, pero no lo he revisado detenidamente. El link es éste.
x^3+y^3+3z^3=3
Acá, de nuevo, se pueden encontrar algunas soluciones sencillas, tales como x=n, y=-n, z=1, para cualquier entero n. Buscando números chicos uno encuentra también x=0, y=3, z=-2. Qué más hay?
Vi hoy un posteo en arXiv, con una ecuación parecida, pero no lo he revisado detenidamente. El link es éste.
Pregunta 1.
Resolver en los enteros el siguiente sistema de ecuaciones:
x^2-2y^2+z^2=2
y^2-2z^2+w^2=2
z^2-2w^2+v^2=2
Nótese que cinco enteros consecutivos siempre son una solución (por ejemplo x=8,y=9,z=10,w=11,v=12). También son soluciones, por supuesto, los enteros consecutivos con cambios de signo. Hay alguna otra solución?
x^2-2y^2+z^2=2
y^2-2z^2+w^2=2
z^2-2w^2+v^2=2
Nótese que cinco enteros consecutivos siempre son una solución (por ejemplo x=8,y=9,z=10,w=11,v=12). También son soluciones, por supuesto, los enteros consecutivos con cambios de signo. Hay alguna otra solución?
Suscribirse a:
Entradas (Atom)